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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
j) $j_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n})$

Respuesta

Ya casi terminamos, resolvemos ahora este límite:

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n})$

¿Ya te sabés de memoria todo lo que voy a decir, no? Infinito menos infinito, raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos por conjugado, vamos con eso...

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n^{2}+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{2}+2}+\sqrt{n}} $ Escribimos el numerador como una diferencia de cuadrados y simplificamos, nos queda... $ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{n^{2}+2-n}{\sqrt{n^{2}+2}+\sqrt{n}} $

Sacamos factor común $n^2$ adentro de la raiz:

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{n^{2}+2-n}{\sqrt{n^{2} (1+\frac{2}{n^2})}+\sqrt{n}} $

Distribuimos la raíz, simplificamos...

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{n^{2}+2-n}{n \sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{n}} $

Sacamos factor común $n^2$ en el numerador y $n$ en el denominador...

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{n^2 (1 + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n})}{n (\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\frac{\sqrt{n}}{n})} $

Usando propiedades de potenciación podemos reescribir un par de cositas...

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n})}{(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n}})} $

Tomamos límite y el resultado es...

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n})}{(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n}})} = +\infty$
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ExaComunidad
Valentin
28 de abril 3:00
Hola, ¿Por qué después de distribuir y simplificar la raiz, en el denominador hay una n multiplicando a la raiz?
1 respuesta
Benjamin
19 de abril 16:31
Otra duda, por que la raiz de n sobre n, queda en 1 sobre raiz de n?
1 respuesta
Benjamin
19 de abril 16:27
No entiendo por que el n termina elevado a la 3/2. Osea, quedaria la raiz de n, ahora escrita como n a la 1/2 POR n al cuadrado sobre n. Quedaria 1/2+2 y todo esto sobre n (osea 1)?? Porque segun mi logica 1/2+2 da 2,5, o nose si contaria que como es una multiplicacion de fraccion, quedaria (1*2)/(2*1), osea 2 sobre 2 =1. 
1 respuesta
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